Das Sommerfeldpendel ist ein Federpendel bei dem die schwingende Masse aus einer Querstange mit zwei auf ihr verschiebbaren Gewichten besteht. Daher hat das System ein ausgeprägtes Trägheitsmoment und kann zwei Schwingungsarten ausführen. Einmal die elastische Längsschwingung zum Anderen eine Torsionsschwingung. Die Eigenfrequenz der Längsschwingung ist durch die Masse des angehängten Körpers und die Richtkraft der Feder bestimmt, während die Torsionsschwingung durch das Trägheitsmoment des angehängten Körpers und das Richtmoment festgelegt wird. Da man das Trägheitsmoment durch verschieben der Massen auf der Querstange verändern kann, ohne die Größe der Massen selbst zu verändern, kann man beide Eigenschwingungen aufeinander abstimmen. Wenn man die Feder auslenkt, wird diese bei der Dehnung auch immer etwas tordiert. Nach dem Loslassen wird die am Anfang bestimmende Längsschwingung das System auch zu Torsionsschwingungen anregen. Nach einiger Zeit wird die gesamte Energie der Längsschwingung in die Drehschwingung der Masse übergehen. Dann wiederholt sich der Vorgang im umgekehrten Sinn, indem die Torsionsschwingungen die Längsschwingungen anregen, da bei der Torsion der Feder ihre Länge stets etwas geändert wird. Wir haben also auch hier das Bild einer Schwebung, bei der zwei verschiedene Schwingungsarten einander abwechseln.
Das Pendel wird mit einer Stativklemme an einer 1,50m-Stativstange befestigt. Den Aufbau mit der Bogenlampe projizieren. Achtung: Die Gewichte der Schwingungsmasse müssen so eingestellt werden, dass die Federschwingung vollständig in eine Torsionsschwingung übergeht.
Nach Auslenkung wechseln die Schwingungsarten sich alternierend ab.
Zwei Schwingungssysteme, die die gleiche Eigenfrequenz besitzen, sind so miteinander verbunden, dass die Schwingung des einen Systems auf das andere System übertragen werden kann.
Wir betrachten zwei gleiche Schwerependel, die durch eine leichte Feder miteinander gekoppelt sind. Läßt man das eine Pendel schwingen, erregt es das zweite Pendel auch zu Schwingungen. Nach einer gewissen Zeit ist die gesamte Schwingungsenergie vom Ersten auf das Zweite übertragen. Das Erste Pendel kommt zur Ruhe während das Zweite seine größte Schwingungsamplitude erreicht. Dann wiederholt sich derselbe Vorgang in umgekehrter Richtung. Dieser Energieaustausch wiederholt sich so lange, bis die zugeführte mechanische Energie durch Reibungswärme aufgezehrt worden ist.
Der Vorgang kann als erzwungene Schwingung mit begrenztem Energievorrat des anregenden Oszillators aufgefasst werden. Haben beide Pendel die gleiche Frequenz (Resonanzfall) wird die Energie vollständig übertragen. Bei verschiedenen Eigenfrequenzen der Pendel wird ein Teil der Energie zurückgehalten.
Die Zeit in der die Energie übertragen wird, hängt von der Kopplung ab. Bei fester Kopplung wandert die Energie schneller zwischen den beiden schwingungsfähigen Systemen hin und her als bei loser Kopplung.
Man beachte, dass jeweils das eine Pendel dem anderen während der Energieabgabe um Δφ = π/2 vorauseilt. Beim Wechsel des Pendel vom Erreger zum Resonator (die Amplitude ist null) führt die Schwingung einen Phasensprung von π aus.
Die Theorie dieses Pendels wurde ausführlich von Arnold Sommerfeld untersucht. Eine Beschreibung findet sich in Arnold Sommerfeld: Vorlesungen über theoretische Physik, Band 2 und führt zu folgender Lösung:
Das Pendel folgt den gekoppelten Schwingungsgleichungen
d²y/dt² + ωT²(y - kx) = 0; d²x/dt² + ωB²(x - hy) = 0
mit den Abkürzungen (ν = Poisson-Zahl):
ωT² = (1 + ν sin²α) μ Jp / M R² l; ωB² = (1 + ν cos²α) μ Jν / Mred R² l
k = ν sinα cosα / (1 + ν sin²α); h = ν sinα cosα / (1 + ν cos²α)
Dabei bedeuten