M10.02 rollende Zylinder auf schiefer Ebene

Beschreibung:

Ein Voll- und ein Hohlzylinder rollen eine schiefe Ebene hinunter. Der Vollzylinder ist aufgrund seines kleineren Trägheitsmomentes schneller.

Bild:

Video:

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Teile:

Aufbau:

Durchführung:

Mit der Küchenwaage kann gezeigt werden, daß die beiden Zylinder die gleichen Massen haben. Das Bild der Waage erscheint als Schattenprojektion an der Wand.

Die beiden Zylinder werden mit Hilfe einer Holzleiste auf gleicher Höhe gehalten. Durch das Entfernen der Holzleiste werden die Zylinder gleichzeitig losgelassen.

Der Vollzylinder rollt die Schräge schneller hinunter als der Hohlzylinder, da er das kleinere Trägheitsmoment besitzt.

Hinweis: Die Zylinder dürfen sich vor dem Loslassen nicht berühren, da es sonst zu einem Mitnahme-Effekt kommt und sie fast gleich schnell rollen.

Physik:

Ein Zylinder mit Masse m, Radius r und Trägheitsmoment I rollt mit der Geschwindigkeit v = r ω die schiefe Ebene herunter. Seine kinetische Energie lässt sich nun auf zwei Weisen berechnen:

  1. Die kinetische Energie setzt sich aus der Translationsenergie mv²/2 = mr²ω²/2 und der Rotationsenergie bezüglich der Symmetrieachse Iω²/2 zusammen. Es gilt also Ekin = (I + mr²)ω²/2.
  2. Da der Zylinder ohne Schlupf rollt (also ohne zu rutschen), ist der Auflagepunkt des Zylinders zu jedem Zeitpunkt in Ruhe. Man kann ihn daher als momentane Drehachse ansehen. Die kinetische Energie des Zylinders ist dann die Rotationsenergie bezüglich dieser momentanen Drehachse. Das Trägheitsmoment um diese Drehachse berechnet sich nach dem Steinerschen Satz zu I' = I + mr². Dann ergibt sich die Rotationsenergie zu Ekin = (I + mr²)ω²/2.

Der Zylinder sei bereits die Strecke x auf der Ebene mit dem Anstellwinkel φ heruntergerollt. Dabei hat er die Energie mgx sin φ in kinetische Energie umgesetzt. Es ist also (I + mr²)ω²/2 = mgx sin φ. Andererseits ist aber dx/dt = rω. Der Zylinder ist also um so schneller, je kleiner sein Trägheitsmoment ist.